Структуры и алгоритмы обработки данных



Поиск делением пополам (двоичный поиск). - часть 2


В результате максимальное число сравнений равно log N, округленному до ближайшего целого. Таким образом, приведенный алгоритм существенно выигрывает по сравнению с линейным поиском, ведь там ожидаемое число сравнений - N/2.

Эффективность можно несколько улучшить, поменяв местами заголовки условных операторов. Проверку на равенство можно выполнять во вторую очередь, так как она встречается лишь единожды и приводит к окончанию работы. Но более существенно следующее соображение: нельзя ли, как и при линейном поиске, отыскать такое решение, которое опять бы упростило условие окончания. И мы действительно находим такой быстрый алгоритм, как только отказываемся от наивного желания кончить поиск при фиксации совпадения. На первый взгляд это кажется странным, однако при внимательном рассмотрении обнаруживается, что выигрыш в эффективности на каждом шаге превосходит потери от сравнения с несколькими дополнительными элементами. Напомним, что число шагов в худшем случае - log N. Быстрый алгоритм основан на следующем инварианте:

(Ak : 0 £ k < L : ak < x) AND (Ak : R £ k < N : ak ³ x)

причем поиск продолжается до тех пор, пока обе секции не "накроют" массив целиком.

L := 0;

R := N;

  WHILE L < R DO

    m := (L+R) DIV 2;

    IF a[k] < x THEN L := m+1

    ELSE R := m ;

  END

END

Условие окончания - L і R, но достижимо ли оно? Для доказательства этого нам необходимо показать, что при всех обстоятельствах разность R-L на каждом шаге убывает. В начале каждого шага L < R. Для среднего арифметического m справедливо условие L Ј m < R. Следовательно, разность действительно убывает, ведь либо L увеличивается при присваивании ему значения m+1, либо R уменьшается при присваивании значения m. При L = R повторение цикла заканчивается. Однако наш инвариант и условие L = R еще не свидетельствуют о совпадении. Конечно, при R = N никаких совпадений нет. В других же случаях мы должны учитывать, что элемент а[R] в сравнениях никогда не участвует.Следовательно, необходима дополнительная проверка на равенство а[R] = x. В отличие от первого нашего решения приведенный алгоритм, как и в случае линейного поиска, находит совпадающий элемент с наименьшим индексом.




Содержание  Назад  Вперед